17攻略
常见的勾股数及几种通式有：(1) （3,4,5）,（6,8,10） 3n,4n,5n (n是正整数)(2) （5,12,13） ,（ 7,24,25）,（ 9,40,41） 2n ＋ 1,2n^2 ＋ 2n,2n^2 ＋ 2n ＋ 1 (n是正整数)(3) (8,15,17),(12,35,37) 2^2*(n＋1),[2(n＋1)]^2－1,[2(n＋1)]^2＋1 (n是正整数)(4)m^2－n^2,2mn,m^2＋n^2 (m、n均是正整数,mn)
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关于勾股定理
又称商高定理，而更普遍地则称为勾股定理。
中国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。
勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为几何学的基石，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用。
正因为这样，世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，因此有许多名称。
中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一。
中国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理。
还有的国家称勾股定理为毕达哥拉斯定理。
勾股数
中文名勾股数
拼音：gōu gǔ shù
别名：毕氏三元数
表达式a^2+b^2=c^2,a,b,c∈N
出自《周髀算经》
应用学科几何
适用领域数学，几何学
简介①观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；发现这些勾股数都是奇数，且从3起九没有间断过。计算05（9-1），05（9+1）与05（25-1），05（25+1），并根据你发现的规律写出分别能表示7，24，25的股和弦的算式。
②根据①的规律，用n的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想他们之间的两种相等关系，并对其中一种猜想加以说明。
③继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过，运用上述类似的探索方法，之间用m的代数式来表示它们的股合弦。
常用套路简介
勾股数所谓勾股数，一般是指能够构成直角三角形三条边的三个正整数(例如a,b,c)。
即a^2+b^2=c^2,a,b,c∈N
又由于，任何一个勾股数组(a,b,c)内的三个数同时乘以一个整数n得到的新数组(na,nb,nc)仍然是勾股数，所以一般我们想找的是a,b,c互质的勾股数组。
公式证明证明a=2mn
b=m^2-n^2
c=m^2+n^2
证：假设a^2+b^2=c^2，这里研究(a,b)=1的情况（如果不等于1则(a,b)|c，两边除以(a,b)即可）
如果a,b均奇数，则a^2+b^2=2(mod4)（奇数mod4余1），而2不是模4的二次剩余，矛盾，所以必定存在一个偶数。不妨设a=2k
等式化为4k^2=(c+b)(c-b)
显然b,c同奇偶（否则右边等于奇数矛盾）
作代换：M=(c+b)/2,N=(c-b)/2，显然M，N为正整数
往证：(M,N)=1
如果存在质数p，使得p|M,p|N,那么p|M+N(=c),p|M-N(=b),从而p|c,p|b,从而p|a，这与(a,b)=1矛盾
所以(M,N)=1得证。
依照算术基本定理，k^2=p1^a1*p2^a2*p3^a3*，其中a1,a2均为偶数，p1,p2,p3均为质数
如果对于某个pi，M的pi因子个数为奇数个，那N对应的pi因子必为奇数个（否则加起来不为偶数），从而pi|M,pi|N，(M,N)=pi>1与刚才的证明矛盾所以对于所有质因子,pi^2|M,pi^2|N，即M，N都是平方数。
设M=m^2,N=n^2
从而有c+b=2m^2,c-b=2n^2，解得c=m^2+n^2,b=m^2-n^2,从而a=2mn
推广形式关于勾股数的公式还是有局限的。勾股数公式可以得到所有的基本勾股数，但是不可能得到所有的派生勾股数。比如3，4，5；6，8，10；9，12，15，就不能全部有公式计算出来。
但可以采用同乘以任意整数的形式来获取所有解！
其中规定m>n>0（两负数相乘可抵消固不考虑），(m,n)=1，m和n必须为一奇一偶，t为正整数
完全公式公式a=m，b=(m^2/k-k)/2，c=(m^2/k+k)/2①其中m≥3
⒈、当m确定为任意一个≥3的奇数时，k={1，m^2的所有小于m的因子}
⒉、当m确定为任意一个≥4的偶数时，k={m^2/2的所有小于m的偶数因子}
基本勾股数与派生勾股数可以由完全一并求出。例如，当m确定为偶数432时，因为k={432^2/2的所有小于432的偶数因子}={2，4，6，8，12，16，18，24，32，36，48，54，64，72，96，108，128，144，162，192，216，288，324，384}，将m=432及24组不同k值分别代入b=(m^2/k-k)/2，c=(m^2/k+k)/2；即得直角边a=432时，具有24组不同的另一直角边b和斜边c，基本勾股数与派生勾股数一并求出。而勾股数的组数也有公式能直接得到。
组数N算术基本定理：一个大于1的正整数n，如果它的标准分解式为n=p1^m1×p2^m2××pr^mr，那么它的正因数个数为N=(m1+1)×(m2+1)××(mr+1)；依据定理，易得以下结论
当a给定时，不同勾股数组a，b，c的组数N等于①式中k的可取值个数
⒈、取奇数a=p1^m1×p2^m2××pr^mr，其中k={1，a^2的所有小于a的因子}，则k的可取值个数：
N=[(2m1+1)×(2m2+1)××(2mr+1)－1]/2
⒉、取偶数a=2^m0×p1^m1×p2^m2××pr^mr，其中k={a^2/2的所有小于a的偶数因子}，则k的可取值个数：
N=[(2m0－1)×(2m1+1)×(2m2+1)××(2mr+1)－1]/2
其中，p1，p2，，pr为互不相同的奇素数，m0，m1，，mr为幂指数。
整勾股数JAVA编程
常见组合3，4，5：勾三股四弦五
5，12，13：5·12记一生（13）
6，8，10：连续的偶数
8，15，17：八月十五在一起（17）
特殊组合连续的勾股数只有3，4，5
连续的偶数勾股数只有6，8，10
特点观察分析上述的勾股数，可看出它们具有下列二个特点：
1、直角三角形短直角边为奇数，另一条直角边与斜边是两个连续自然数。
2、一个直角三角形的周长等于短直角边的平方与这边的和。
掌握上述二个特点，为解一类题提供了方便。
例：直角三角形的三条边的长度是正整数，其中一条短直角边的长度是13，求这个直角三角形的周长是多少？
