17攻略
向量点乘和叉乘的区别是，两者的运算结果不同；两者的应用范围不同；两者的概述不同。
点乘的运算结果是得到的结果为一个标量，叉乘的运算结果是为一个向量而不是一个标量；点乘的应用范围是线性代数，叉乘的应用范围是其应用也十分广泛，通常应用于物理学光学和计算机图形学中；点乘的概述是点积在数学中又称数量，积是指接受在实数r上的两个向量并返回一个实数值标量的二元运算。
向量x乘和点乘的区别是:向量x乘是数乘向量，即实数和向量相乘，其结果仍然是向量； 而点乘是向量乘以向量，其结果是一个实数。
点积
两个向量a= [a1, a2,, an]和b = [b1, b2,, bn]的点积定义为：
a·b=a1b1+a2b2++anbn。
使用矩阵乘法并把（纵列）向量当作n×1矩阵，点积还可以写为：
a·b=（a^T）*b，这里的a^T指示矩阵a的转置。
中文名点积
外文名dotproduct; scalarproduct
别名标量积、数量积、内积
运算类型二元运算
点积的三个值u、v、u,v夹角的余弦
点积的值u,v的点积=|u||v|cos<u,v>
应用学科线性代数
定义点积有两种定义方式：代数方式和几何方式。通过在欧氏空间中引入笛卡尔坐标系，向量之间的点积既可以由向量坐标的代数运算得出，也可以通过引入两个向量的长度和角度等几何概念来求解。
点积广义定义在一个向量空间V中，定义在上的正定对称双线性形式函数即是V的数量积，而添加有一个数量积的向量空间即是内积空间。
点积代数定义设二维空间内有两个向量 和 ，定义它们的数量积（又叫内积、点积）为以下实数：
更一般地，n维向量的内积定义如下：
几何定义
设二维空间内有两个向量和，和表示向量a和b的大小，它们的夹角为，则内积定义为以下实数：
该定义只对二维和三维空间有效。
这个运算可以简单地理解为：在点积运算中，第一个向量投影到第二个向量上（这里，向量的顺序是不重要的，点积运算是可交换的），然后通过除以它们的标量长度来标准化。这样，这个分数一定是小于等于1的，可以简单地转化成一个角度值。
点积
定义的等价性以三维空间为例子。
①几何定义推导代数定义
设，，根据向量坐标的意义可知
根据点乘的分配律得
又
所以
注意：点乘的分配律在空间内可通过几何证明，无需借助向量关系，因此不属于循环推导。
点乘分配律的几何证明：
(a+b)·c=a·c+b·c
c=0时上式是成立的；
c≠0时，(a+b)·c=|c|*Prjc(a+b)=|c|(Prjc(a)+Prjc(b))=|c|*Prjc(a)+|c|*Prjc(b)=a·c+b·c
②代数定义推导几何定义
设它们的终点分别为和，原点为O，夹角为。则
在△OAB中，由余弦定理得：
利用距离公式对这个等式稍作处理，得
点积去括号、合并得
