17攻略
昨天做导数题，做了一阵子之后，需要解一个一元三次方程
，然后我就懵了，我初中因式分解没学好啊，这可咋解？
网课上，老师讲题的时候，解法是把二次项拆开。
即：
可是问题在于我不知道什么时候该拆；就算知道要拆，也不知道该拆哪一项、拆成多少啊？
于是只能换一个方法了。
于是想到了去年数学课讲过的一个奇怪的定理，不知其名：
设
为
次多项式（
），若该多项式有一有理零点
（
与
互素），则
，
。
证明：
如果
（
与
互素）是
的一个有理零点，则
为本原多项式，且在
中，
。
令其商
。
比较
的首项和常数项系数，即有
，
。
故得证[1]。
有了这个定理的支撑，就可以用一个奇怪的方法解决因式分解了。
第一步：试根
观察原方程
发现，
，
。
那么现在需要找一个有理数
满足
，
。
令
，
，代入
发现
，原方程成立。
其实如果数感比较好的话，不需要上面的定理，也能通过瞪眼法发现
时方程成立。
于是现在试出了
一根。
这意味着，原方程可以化为
的形式。
至于省略号内的内容怎么求，需要进一步运算。
第二步：进行多项式除法运算
这里就和小学学过的大整数竖式除法比较相似了。
小学大整数竖式除法是由高位向低位进行的，那么同理，这里需要对多项式进行降幂排列，并对缺项进行补零操作：
。
然后用
作为除式，原多项式作为被除式，进行竖式除法运算即可。
过程与小学大整数竖式除法类似。
首先把竖式部分的「头」写出来：
然后从高次幂到低次幂运算即可。
对于被除式第一项
，系数为
；
当中未知数的系数也为
，于是除出来的
的系数是
（
）：
然后仿照小学知识，把
和
相乘，写到下一行，然后上下相减：
继续用新得到的
去除以
，显然除出来的
的系数是
（
）：
然后再把
与
相乘，写到下一行，上下相减：
再用新得到的
去除以
，重复上面的步骤：
至此，余数为零，竖式除法运算结束。
那么原多项式的因式分解结果即为：
一眼就能看出，
尚未完全分解，遂继续分解为
。
那么：
至此，因式分解完毕，可以轻松解出
。
小结：
由于笔者本人数学水平较差，很多时候遇到需要因式分解的情形（尤其是三次式）并不能轻松地分解开，诸如拆项等方法不能做到灵活使用。
在高中阶段，一般遇到的因式分解都是整数，所以这种列竖式的方法大概还是比较简单通用的。
本原多项式
中文名本原多项式
外文名Primitive Polynomial
所属学科近世代数
类型多项式
高斯引理本原多项式的乘积还是本原多项式
性质本原多项式不等于零
概述一个n次不可约多项式，如果只能整除1+Z^2^n-1
而不能整除其它1-Z^L(L<2^n-1)，则这种不可约多项式就称为本原多项式。
本原多项式的另外一种定义：系数取自GF(p)上，以GF(p^m)上的本原域元素为根的最小多项式。
因为本原多项式一定以n=p^m-1级元素为根，p^m≡1(modn)，所以本原多项式的次数必然是m。
对于一个n次多项式，其本原多项式一般有若干个。下面将给出的一个算法，是求解在给定任意n值及一个本原多项式的情况下，其余本原多项式的求解方法。该算法的意义在于提供了同一n值情况下若干个可选的本原多项式，这样就允许在构造应用系统时有不同的选择方案。
已知一个n级本原多项式，求解其余的本原多项式按以下步骤进行。
(1)首先确定n级本原多项式的个数λ(n)，λ(n)即是n级本原多项式的个数。
(2)求出小于2n－1且与2n－1互素的所有正整数，构成一个集合〔Si〕，并重新排序，使〔Si〕中元素从小到大排列。
(3)排除〔Si〕中不适合的数
排除〔Si〕中形如2j（j为正整数）
排除〔Si〕中所有同宗的数。即从〔Si〕中从后到前搜索，每取一个数即做2K×Si，直到大于2n－1，然后减去2n－1，用差值在〔Si〕中向前搜索，如果有相同的数则将Si排除，否则保留。再取Si－1按同样过程做一遍，直到S0。
本原多项式排除〔Si〕中有倍数关系的数。即从〔Si〕中从后到前搜索，每取一数即向前查询一遍，最后〔Si〕中剩下的数即为本原抽样数，其个数一定为λ(n)-1。
(4)根据已知的一个n级本原多项式，为其设置初始状态00001（n个），求出其M序列{Ai}（长度为2n－1）。
(5)依次从Si中取出本原抽样数，每取出一个抽样数Si，即可求出一个本原多项式：以Si对{Ai}进行抽样，就可产生长度为2n－1的另一M序列{Si}，在{Si}中找到形如00001（n位）的序列段{Mi}，并提取包括{Mi}为前n项的2n长度的序列：
Am+0，Am+1，，Am+n-1，
0 0 1
Am+n，Am+n+1，Am+2n-1
X X X
欲确定的Ci可用下列方程组确定；
C1=Am+n
C2=Am+n+1+C1Am+n
C3=Am+n+2+C1Am+n+1+C2Am+n
常用本原多项式下表为常用本原多项式：
Matlab中调用本原多项式的指令：
primpoly(m)；
primpoly(m，'all')；
primpoly(m，'all'，'nodisplay')；
注意返回值是按照十进制表示的。
含义在不同的分支数学，本原多项式有不同的含义：
域论中，一个本原多项式是有限域CF（pm）有限扩张的本原元的最小多项式（域论）。
