17攻略
分别是:总体方差公式、样本方差公式和中心距离方差公式。
总体方差公式用于计算总体数据的方差。
它可以用来测量一个总体数据集中元素之间的变化程度。
总体方差的公式为: σ2 = ∑(x-μ)2 N 其中,σ2代表方差,x代表元素,μ代表总体均值,N代表总体数据的元素个数。
样本方差公式用于计算样本数据的方差。
它可以用来测量一个样本数据集中元素之间的变化程度。
样本方差的公式为: s2 = ∑(x-x)2 (n-1) 其中,s2代表样本方差,x代表元素,x代表样本均值,n代表样本数据的元素个数。
中心距离方差公式用于计算，一组数据与其样本均值之间的距离的平方和。
它可以用来测量一个数据集中元素与其均值之间的距离。
中心距离方差的公式为: σ2 = ∑(x-x)2 n 其中,σ2代表方差,x代表元素,x代表样本均值,n代表数据集的元素个数。
总体方差、样本方差和中心距离方差是用来计算方差的三种公式。
它们的公式都有一定的差异,但是它们的目的都是为了测量一组数据的变化程度。
在实际数据分析中,我们可以根据实际情况选择合适的公式来计算方差。
方差的定义
中文名方差
英文名variance
编写Var或DX
类别数学
种类离散型方差，连续型方差
概述样本中各数据与样本平均数的差的平方和的平均数叫做样本方差；样本方差的算术平方根叫做样本标准差。样本方差和样本标准差都是衡量一个样本波动大小的量，样本方差或样本标准差越大，样本数据的波动就越大。方差和标准差。方差和标准差是测算离散趋势最重要、最常用的指标。
方差是各变量值与其均值离差平方的平均数，它是测算数值型数据离散程度的最重要的方法。标准差为方差的平方根，用S表示。标准差相应的计算公式为标准差与方差不同的是，标准差和变量的计算单位相同，比方差清楚，因此很多时候我们分析的时候更多的使用的是标准差。
简单来说，标准差是一组数据平均值分散程度的一种度量。一个较大的标准差，代表大部分数值和其平均值之间差异较大；一个较小的标准差，代表这些数值较接近平均值。
例如，两组数的集合{0,5,9,14}和{5,6,8,9}其平均值都是7，但第二个集合具有较小的标准差。
标准差可以当作不确定性的一种测量。例如在物理科学中，做重复性测量时，测量数值集合的标准差代表这些测量的精确度。当要决定测量值是否符合预测值，测量值的标准差占有决定性重要角色：如果测量平均值与预测值相差太远（同时与标准差数值做比较），则认为测量值与预测值互相矛盾。这很容易理解，因为如果测量值都落在一定数值范围之外，可以合理推论预测值是否正确。
标准差应用于投资上，可作为量度回报稳定性的指标。标准差数值越大，代表回报远离过去平均数值，回报较不稳定故风险越高。相反，标准差数值越细，代表回报较为稳定，风险亦较小。
例如，A、B两组各有6位学生参加同一次语文测验，A组的分数为95、85、75、65、55、45，B组的分数为73、72、71、69、68、67。这两组的平均数都是70，但A组的标准差为1707分，B组的标准差为237分（此数据时在R统计软件中运行获得），说明A组学生之间的差距要比B组学生之间的差距大得多。
如是总体，标准差公式根号内除以n；
如是样本，标准差公式根号内除以（n-1)；
因为我们大量接触的是样本，所以普遍使用根号内除以（n-1)。
定义设X是一个随机变量，若E{[X-E(X)]^2}存在，则称E{[X-E(X)]^2}为X的方差，记为D(X),Var(X)或DX。
即D(X)=E{[X-E(X)]^2}称为方差，而σ(X)=D(X)^05（与X有相同的量纲）称为标准差（或均方差）。即用来衡量一组数据的离散程度的统计量。
方差刻画了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度。（标准差方差越大，离散程度越大。否则，反之)
若X的取值比较集中，则方差D(X)较小,
若X的取值比较分散，则方差D(X)较大。
因此，D（X）是刻画X取值分散程度的一个量，它是衡量X取值分散程度的一个尺度。
所有数减去其平均值的平方和，所得结果除以该组数之个数（或个数减一)，再把所得值开根号，所得之数就是这组数据的标准差。
数据意义标准差越高,表示实验数据越离散,也就是说越不精确。
反之,标准差越低,代表实验的数据越精确。
离散度标准差是反应一组数据离散程度最常用的一种量化形式，是表示精密确的最要指标。说起标准差首先得搞清楚它出现的目的。我们使用方法去检测它，但检测方法总是有误差的，所以检测值并不是其真实值。检测值与真实值之间的差距就是评价检测方法最有决定性的指标。但是真实值是多少，不得而知。因此怎样量化检测方法的准确性就成了难题。这也是临床工作质控的目的：保证每批实验结果的准确可靠。
虽然样本的真实值是不可能知道的，但是每个样本总是会有一个真实值的，不管它究竟是多少。可以想象，一个好的检测方法，基检测值应该很紧密的分散在真实值周围。如何不紧密，那距真实值的就会大，准确性当然也就不好了，不可能想象离散度大的方法，会测出准确的结果。因此，离散度是评价方法的好坏的最重要也是最基本的指标。
一组数据怎样去评价和量化它的离散度呢?人们使用了很多种方法：
一、极差：
最直接也是最简单的方法，即最大值－最小值（也就是极差）来评价一组数据的离散度。这一方法在日常生活中最为常见，比如比赛中去掉最高最低分就是极差的具体应用。
二、离均差的平方和：
由于误差的不可控性，因此只由两个数据来评判一组数据是不科学的。所以人们在要求更高的领域不使用极差来评判。其实，离散度就是数据偏离平均值的程度。因此将数据与均值之差（我们叫它离均差）加起来就能反映出一个准确的离散程度。和越大离散度也就越大。
但是由于偶然误差是成正态分布的，离均差有正有负，对于大样本离均差的代数和为零的。为了避免正负问题，在数学有上有两种方法：一种是取绝对值，也就是常说的离均差绝对值之和。而为了避免符号问题，数学上最常用的是另一种方法－－平方，这样就都成了非负数。因此，离均差的平方和成了评价离散度一个指标。
三、方差（S2）：
由于离均差的平方和与样本个数有关，只能反应相同样本的离散度，而实际工作中做比较很难做到相同的样本，因此为了消除样本个数的影响，增加可比性，将标准差求平均值，这就是我们所说的方差成了评价离散度的较好指标。样本量越大越能反映真实的情况，而算数均值却完全忽略了这个问题，对此统计学上早有考虑，在统计学中样本的均差多是除以自由度（n-1)，它是意思是样本能自由选择的程度。当选到只剩一个时，它不可能再有自由了，所以自由度是n-1。
四、标准差（SD）：
由于方差是数据的平方，与检测值本身相差太大，人们难以直观的衡量，所以常用方差开根号换算回来这就是我们要说的标准差。
在统计学中样本的均差多是除以自由度（n-1)，它是意思是样本能自由选择的程度。当选到只剩一个时，它不可能再有自由了，所以自由度是n-1。
五、变异系数（CV）：
标准差能很客观准确的反映一组数据的离散程度，但是对于不同的检目，或同一项目不同的样本，标准差就缺乏可比性了，因此对于方法学评价来说又引入了变异系数（CV）。
计算由定义知，方差是随机变量X的函数g(X)=∑[X-E(X)]^2pi，数学期望。如图：
由方差的定义可以得到以下常用计算公式：
D(X)=∑xi²pi-E(x)²
D(X)=∑（xi²pi+E(X)²pi-2xipiE(X))；
=∑xi²pi+∑E(X)²pi-2E(X)∑xipi；
=∑xi²pi+E(X)²-2E(X)²；
=∑xi²pi-E(x)²
方差其实就是标准差的平方。
方差的性质1设c是常数，则
2设X是随机变量，c是常数，则有
3设X与Y是两个随机变量，则
D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)
D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y)
特别的，当X，Y是两个不相关的随机变量则
D(X+Y)=D(X)+D(Y),D(X-Y)=D(X)+D(Y),
此性质可以推广到有限多个两两不相关的随机变量之和的情况。
4D(X)=0的充分必要条件是X以概率为1取常数值c，即X=c,as其中E(X)=c。
5D(aX+bY)=aDX+bDY+2abCov(X,Y)。
随机变量期望和方差求解公式随机变量X。
X服从两点分布，则E(X)=pD(X)=p(1-p)
X服从泊松分布，即X~π(λ),则E(X)=λ，D(X)=λ
X服从指数分布，即X~e(λ),E(X)=1/λ，D(X)=1/λ
X服从二项分布，即X~B(n,p)，则E(x)=np,D(X)=np(1-p)
X服从正态分布，即X~N(μ，σ),则E(x)=μ，D(X)=σ
X服从标准正态分布，即X~N(0,1),则E(x)=0,D(X)=1
随机变量求方差的通用公式，即D(X)=E(X)-[E(X)]
举例如下面的例子：
已知某零件的真实长度为a，现用甲、乙两台仪器各测量10次，将测量结果X用坐标上的点表示如图：
甲仪器测量结果：
乙仪器测量结果：全是a
两台仪器的测量结果的均值都是a。但是用上述结果评价一下两台仪器的优劣，很明显，我们会认为乙仪器的性能更好，因为乙仪器的测量结果集中在均值附近。
由此可见，研究随机变量与其均值的偏离程度是十分必要的。那么,用怎样的量去度量这个偏离程度呢?容易看到E[|X-E[X]|]能度量随机变量与其均值E(X)的偏离程度。但由于上式带有绝对值,运算不方便，通常用量E[(X-E[X])]这一数字特征就是方差。
公式方差是实际值与期望值之差平方的平均值，而标准差是方差算术平方根。
在实际计算中，我们用以下公式计算方差。
方差是各个数据与平均数之差的平方的和的平均数,即，其中，x表示样本的平均数，n表示样本的数量，x表示个体，而s^2就表示方差。
而当用作为样本X的方差的估计时，发现其数学期望并不是X的方差，而是X方差的倍，的数学期望才是X的方差，用它作为X的方差的估计具有无偏性，所以我们总是用来估计X的方差，并且把它叫做样本方差。
方差，通俗点讲，就是和中心偏离的程度！用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）并把它叫做这组数据的方差。记作S。在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定。
公式可以进一步推到为：其中x为这组数据中的数据，n为大于0的整数。
数据波动当数据分布比较分散（即数据在平均数附近波动较大）时，各个数据与平均数的差的平方和较大，方差就较大；当数据分布比较集中时，各个数据与平均数的差的平方和较小。因此方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动就越小。
样本中各数据与样本平均数的差的平方和的平均数叫做样本方差；样本方差的算术平方根叫做样本标准差。样本方差和样本标准差都是衡量一个样本波动大小的量，样本方差或样本标准差越大，样本数据的波动就越大。
方差和标准差是测算离散趋势最重要、最常用的指标。方差是各变量值与其均值离差平方的平均数，它是测算数值型数据离散程度的最重要的方法。标准差为方差的算术平方根，用S²表示。方差相应的计算公式为标准差与方差不同的是，标准差和变量的计算单位相同，比方差清楚，因此很多时候我们分析的时候更多的使用的是标准差。
标准差一组数据的平均值及标准差常常同时做为参考的依据。在直觉上，如果数值的中心以平均值来考虑，则标准差为统计分布之一自然的测量。
定义公式标准差公式
1、方差s^2=[(x1-x)^2+(x2-x)^2+(xn-x)^2]/n
2、标准差=方差的算术平方根
几何学解释从几何学的角度出发，标准差可以理解为一个从n维空间的一个点到一条直线的距离的函数。举一个简单的例子，一组数据中有3个值，X1,X2,X3。它们可以在3维空间中确定一个点P=(X1,X2,X3)。想像一条通过原点的直线。如果这组数据中的3个值都相等，则点P就是直线L上的一个点，P到L的距离为0,所以标准差也为0。
若这3个值不都相等，过点P作垂线PR垂直于L，PR交L于点R，则R的坐标为这3个值的平均数：公式运用一些代数知识，不难发现点P与点R之间的距离(也就是点P到直线L的距离)是。在n维空间中，这个规律同样适用，把3换成n就可以了。
标准差与标准误的区别标准差与标准误都是心理统计学的内容，两者不但在字面上比较相近，而且两者都是表示距离某一个标准值或中间值的离散程度，即都表示变异程度，但是两者是有着较大的区别的。
首先要从统计抽样的方面说起。现实生活或者调查研究中，我们常常无法对某类欲进行调查的目标群体的所有成员都加以施测，而只能够在所有成员（即样本）中抽取一些成员出来进行调查，然后利用统计原理和方法对所得数据进行分析，分析出来的数据结果就是样本的结果，然后用样本结果推断总体的情况。一个总体可以抽取出多个样本，所抽取的样本越多，其样本均值就越接近总体数据的平均值。
